Кінематика

Світ сповнений руху. Ми часто говоримо, що пройшли якусь кількість кілометрів, сплачуємо штрафи за перевищення швидкості та вибираємо найшвидший маршрут у навігаторі. У цій статті навчимося вирішувати основне завдання механіки — визначати становище тіл на даний момент часу.

Прямолінійний рівномірний рух

Рух прямою, при якому тіло проходить рівні ділянки шляху за рівні проміжки часу називають прямолінійним рівномірним. Це будь-який рух з постійною швидкістю.

Наприклад, якщо у вас обмеження швидкості на дорозі 60 км/год і у вас немає жодних перешкод на шляху, то ви, швидше за все, рухатиметеся прямолінійно рівномірно.

Ми можемо охарактеризувати цей рух такими величинами.

Скалярні величини (визначаються лише значенням)

• Час — у міжнародній системі одиниць СІ вимірюється в секундах [с].
• Шлях — довжина траєкторії (лінії, якою рухається тіло). У разі прямолінійного рівномірного руху — довжина відрізка [м].

Векторні величини (визначаються значенням та напрямком)

• Швидкість — характеризує швидкість переміщення та напрямок руху матеріальної точки [м/с].
• Переміщення — вектор, проведений з початкової точки шляху до кінцевої [м].

Проеціювання векторів

Векторний опис руху корисний, тому що на одному кресленні завжди можна зобразити багато різноманітних векторів і отримати перед очима наочну «картину» руху.

Однак щоразу використовувати лінійку та транспортир, щоб робити дії з векторами, дуже трудомістко. Тому ці дії зводять до дій із позитивними та негативними числами – проекціями векторів.

Швидкість може визначатися по переміщенню та шляху, тільки це дві різні характеристики. Швидкість — це векторна фізична величина, що характеризує швидкість переміщення, а середня шляхова швидкість — це відношення довжини шляху до часу, за який шлях пройшов.

\vec{V} = \frac{\vec{S}}{t}

У чому різниця між переміщенням та шляхом?

Переміщення — це вектор, проведений з початкової точки до кінцевої, а шлях — це довжина траєкторії.

Завдання

Знайдіть, з якою середньою дорожньою швидкістю повинен рухатися автомобіль, якщо відстань від Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 кілометрів йому потрібно пройти за 2,5 години . Відповідь дайте в км/год.

Рішення:

Візьмемо формулу середньої дорожньої швидкості

V ср.шляхова = S/t

Підставимо значення:

V ср.шляхова = 210/2,5 = 84 км/год

Відповідь: автомобіль рухатиметься із середньою дорожньою швидкістю, що дорівнює 84 км/год

Рівняння руху

Одне з основних завдань механіки — визначення положення тіла щодо інших тіл в даний момент часу. Для вирішення цього завдання допомагає рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t).

Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напряму руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v < 0), і тоді рівняння руху набуває вигляду:

Прямолінійний рівноприскорений рух

Щоб розібратися з тим, що за типом руху в цьому заголовку, потрібно ввести нове поняття — прискорення.

Прискорення — векторна фізична величина, що характеризує швидкість зміни швидкості. У міжнародній системі одиниць СІ вимірюється за метри, поділені на секунду у квадраті.

СІ — міжнародна система одиниць. “Перекласти в СІ” означає переведення всіх величин в метри, кілограми, секунди та інші одиниці виміру без приставок. Виняток становить кілограм із приставкою «кіло».

Тобто рівноприскорений прямолінійний рух – це рух з прискоренням по прямій лінії, рух, при якому швидкість тіла змінюється на рівну величину за рівні проміжки часу.

Рівняння руху і формула кінцевої швидкості

Завдання механіки не змінилося по ходу тексту – визначення положення тіла щодо інших тіл на даний момент часу. У рівноприскореного руху на рівнянні утворюється прискорення.

Для цього процесу також важливо вміти знаходити кінцеву швидкість. Це часто спрощує вирішення завдань. Вона знаходиться за формулою

\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t

Завдання

Знайдіть місце розташування автобуса, який розігнався до швидкості 60 км/год за 3 хвилини, через 0,5 години після початку руху з початку координат.

Рішення:

Спершу знайдемо прискорення автобуса. Його можна виразити з формули кінцевої швидкості:

v = v_0 + at

a = \frac{v - v_0}{t}

Оскільки автобус рухався з місця, v₀​=0 . Значить

a = \frac{v}{t}

Час дано в хвилинах, переведемо в годинник, щоб співвідносилося з одиницями вимірювання швидкості.

3 хвилини = 3/60 години = 1/20 години = 0,05 години

Підставимо значення:

a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/год²

Тепер візьмемо рівняння руху.

x(t) = x₀ + v_0xt + a_xt²/2

Початкова координата дорівнює нулю, початкова швидкість, як ми вже з’ясували – теж. Значить рівняння набуде вигляду:

x(t) = \frac{a_{x}t^2}{2}

Прискорення ми щойно знайшли, а ось час буде не 3 хвилин, а 0,5 години, тому що нас просять знайти координату в цей момент часу.

Підставимо циферки:

x = 1200 \cdot \frac{0,5^2}{2} = \frac{1200 \cdot 0,5^2}{2} = 150 км

Відповідь: через півгодини координата автобуса дорівнюватиме 150 км.

Рух по вертикалі

Рух по вертикалі — це окремий випадок рівноприскореного руху. Річ у тім, що Землі тіла падають з однаковим прискоренням — прискоренням вільного падіння. Для Землі воно приблизно дорівнює 9,81 м/с², А задачах ми й зовсім наважуємося округлювати його до 10 (фізики просто зухвалі).

Загалом у значенні прискорення вільного падіння для Землі дуже багато знаків після коми. У школі зазвичай дають значення: g = 9,8 м/с². В іспитах ЗНО у довідкових даних дають g = 10 м/с².

І кому ж вірити? Все просто: для кого вирішується завдання, той головний. В іспитах беремо g = 10, у школі при розв’язанні задач (якщо за умови завдання не написано щось інше) беремо g = 9,8 м/с².

Приватним випадком руху по вертикалі (приватним випадком окремого випадку, виходить) вважається вільне падіння – це рівноприскорений рух під дією сили тяжіння, коли інші сили, що діють на тіло, відсутні або зневажливо малі.

Пам’ятайте, що вільне падіння – це не завжди рух по вертикалі зі стану спокою. Якщо ми кидаємо тіло вгору, то початкова швидкість, звичайно, буде.

Рух по колу

Рух по колу – найпростіший випадок криволінійного руху тіла, коли тіло рухається навколо певної точки. Дуже важливо розділити рух по колу та обертання тіла.

При обертальному русі тіла всі його точки описують кола, розташовані в паралельних площинах. Центри всіх кіл лежать при цьому на одному прямому, перпендикулярному до площин кіл і званою віссю обертання. Вісь обертання може розташовуватися всередині тіла та за його межами.

Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю – це рух, при якому тіло за будь-які рівні проміжки часу визначає однакові дуги. Це дуже схоже на рівномірний рух, лише в даному випадку ми маємо справу із дугами.

Під час руху по колу тіло рухається навколо однієї точки, а при обертанні — всі точки тіла рухаються навколо осі обертання.

Центрозривне прискорення

При русі по колу модуль швидкості постійний, тоді як напрям швидкості постійно змінюється. За зміну напрямку швидкості відповідає відцентрове прискорення.

Завдання

Мотоцикл рухається по закругленій ділянці дороги радіусом 120 м зі швидкістю 36 км/год. Чому дорівнює доцентрове прискорення мотоцикла?

Рішення:

Візьмемо формулу доцентрового прискорення тіла

a_ц = v² /R

В умовах завдання швидкість дана в кілометрах на годину, а радіус у метрах. Отже, потрібно перевести швидкість у м/с, щоб уникнути колапсу у вирішенні.

36 км/с = 10 м/с

Тепер можна підставити значення у формулу:

a_ц = 10²/120 = 100/120 = 10/12 ≃ 0,83 м/с²

Відповідь: доцентрове прискорення мотоцикліста дорівнює 0,83 м/с²