Закон збереження імпульсу

Фізика – така кльова наука, в якій нічого не зникає безвісти. Ось і імпульс не відстає. Про те, що таке імпульс, яким чином він зберігається і до чого тут медузи читайте в цій статті.

Імпульс: що це таке

Одного разу Рене Декарт (це який вигадав ту саму декартову систему координат) вирішив, що щоразу раувати силу, щоб описати процеси — якось ліньки і складно.

Для цього потрібне прискорення, а воно не завжди очевидне. Тоді він вигадав таку величину, як імпульс. Імпульс можна охарактеризувати, як кількість руху – це добуток маси на швидкість.

\vec{p} = m \vec{v}

Закон збереження імпульсу

У фізиці і справді нічого не зникає і не з’являється звідки. Імпульс – не виняток. У замкнутій ізольованій системі (це та, у якій тіла взаємодіють лише одне з одним) закон збереження імпульсу звучить так:

А виглядає — ось так :

\vec{p_1} + \vec{p_2} + ... + \vec{p_n} = const

Просте завдання

Хлопчик масою m = 45 кг плив на човні масою M = 270 кг в озері і вирішив скупатися. Зупинив човен (зовсім зупинив, щоб він не рухався) і зістрибнув з нього з горизонтально спрямованою швидкістю 3 м/с. З якою швидкістю рухатиметься човен?

Рішення:

Запишемо закон збереження імпульсу для даного процесу.

\vec{p_0} = \vec{p_1} + \vec{p_2}

p0​​ — це імпульс системи хлопчик + човен до того, як хлопчик стрибнув,

p1 — це імпульс хлопчика після стрибка,

p2 — це імпульс човна після стрибка.

Зобразимо на малюнку, що відбувалося до і після стрибка.

Якщо ми спроектуємо імпульси на вісь х, то закон збереження імпульсу набуде вигляду

0=p1​−p2​
p1 = p2

Підставимо формулу імпульсу.
mV1​=MV2, де:
m — маса хлопчика [кг]
V1 — швидкість хлопчика після стрибка [м/с]
M — маса човна [кг]
V2 — швидкість човна після стрибка [м/с]

Виразимо швидкість човна V2:

V_2 = \frac{mV_1}{M}

Підставимо значення:

V_2 = \frac{45 \cdot 3}{270} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5

Відповідь: швидкість човна після стрибка дорівнює 0,5 м/с

Завдання складніше

Тіло маси m₁ = 800 г рухається зі швидкістю v₁ = 3 м/с по гладкій горизонтальній поверхні. Назустріч йому рухається тіло маси m₂ = 200 г зі швидкістю v₂ = 13 м/с. Відбувається абсолютно пружний удар (тіла злипаються). Знайти швидкість тіла після удару.

Рішення: Для даної системи виконується закон збереження імпульсу:

Імпульс системи до удару — це сума імпульсів тіл, а після удару — імпульс «вихідного» внаслідок удару тіла.

\vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p}

Спроектуємо імпульси на вісь х:

p_1 - p_2 = p

Після непружного удару вийшло одне тіло маси (m1​+m2​), яке рухається з швидкістю:

m_{1}v_{1} - mv_2 = (m_1 + m_2)v

Звідси знаходимо швидкість тіла, що утворилася після удару:

v = \frac{m_{1}v_{1} - mv_2}{m_1 + m_2}

Переводимо масу в кілограми і підставляємо значення:

v = \frac{0,8 \cdot 3 - 0,2 \cdot 13}{0,8 + 0,2} = 2,4 - 2,6 = -2,6 м/с

В результаті ми отримали негативне значення швидкості. Це означає, що на самому початку малюнку ми направили швидкість після удару неправильно.

Знак мінус вказує на те, що злиплі тіла рухаються в бік, протилежний осі X. Це ніяк не впливає на значення, що вийшло.

Відповідь: швидкість системи тіл після зіткнення дорівнює v = 0,2 м/с.

Другий закон Ньютона в імпульсній формі

Другий закон Ньютона в імпульсній формі можна отримати таким чином. Нехай для визначеності вектори швидкостей тіла і вектор сили спрямовані вздовж однієї прямої лінії, тобто рух прямолінійний.

Запишемо другий закон Ньютона, спроектований на вісь х, співнаправлену з напрямком руху і прискоренням:

a=F/m

Застосуємо вираз для прискорення

a=Δv/Δt

У цих рівняннях зліва знаходиться величина a. Оскільки ліві частини рівнянь рівні, можна прирівняти їхні права частини

F/m=Δv/Δt

Отриманий вираз є пропорцією. Застосувавши основну властивість пропорції, отримаємо такий вираз:

F⋅Δt=Δv⋅m

У правій частині знаходиться Δv=v−v0​ — це різниця між кінцевою і початковою швидкістю.

Перетворимо праву частину

Δv⋅m=(v−v0​)⋅m

Розкривши дужки, отримаємо

Δv⋅m=v⋅m−v0​⋅m

Замінимо витвір маси та швидкості на імпульс:

v⋅m=p

v0​⋅m=p

Підставляємо:

Δv⋅m=p−p0​

p−p0​=Δp

Або скорочено:

Δv⋅m=Δp

Тобто, вектор Δv⋅m– це вектор зміни імпульсу Δp.

Тоді другий закон Ньютона в імпульсній формі запишемо так

F⋅Δt=Δp

Повернемося до векторної форми, щоб цей вираз був справедливим для будь-якого напрямку вектору прискорення. Завдання про білку добре визначає значення другого закону Ньютона в імпульсній формі.

\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}

Задачка про білку відмінно описує сенс другого Закону Ньютона в імпульсній формі

Білка із повними лапками горіхів сидить на гладкому горизонтальному столі. І ось хтось безцеремонно штовхає її до краю столу. Білка розуміє закони Ньютона і запобігає падінню. Але як?

Рішення:

Щоб до білки докласти силу, яка штовхатиме білку в зворотному напрямку від краю столу, потрібно створити відповідний імпульс (ось і другий закон Ньютона в імпульсній формі під’їхав).

Ну, а щоб створити імпульс, білка може викинути горіхи у бік напрямку руху – тоді за законом збереження імпульсу її власний імпульс буде спрямований проти спрямування швидкості горіхів.

Реактивний рух

В основі руху ракет, салютів та деяких живих істот: кальмарів, восьминогів, каракатиць та медуз — лежить закон збереження імпульсу. У цих випадках рух тіла виникає через відокремлення будь-якої його частини. Такий рух називається реактивним.

Яскравий приклад реактивного руху в техніці — рух ракети, коли з неї закінчується струмінь пального газу, яка утворюється при згорянні палива.

Сила, з якою ракета діє на гази, дорівнює по модулю і протилежна у напрямку силі, з якою гази відштовхують від себе ракету:

\vec{F_1} = - \vec{F_2}

Сила F2 називається реактивною. Це та сила, яка виникає в процесі відділення частини тіла. Особливістю реактивної сили є те, що вона виникає без взаємодії із зовнішніми тілами.

Закон збереження імпульсу дозволяє оцінити швидкість ракети.

m_г · v_г = m_р · v_р,
де m_г – це маса пального,

v_г – швидкість пального,

m_р – маса ракети,

v_р – швидкість ракети.

Звідси можна виразити швидкість ракети:

v_р = m_г · v_г/m_р

Ця формула справедлива для випадку миттєвого згоряння палива. Миттєве згоряння – це теоретична модель. У реальному житті паливо згоряє поступово, оскільки миттєве згоряння призводить до вибуху.