Закон збереження механічної енергії

Фізика – така кльова наука, в якій нічого не зникає безвісти. У тому числі енергія. Точніше: особливо енергія. Про те, куди вона подіється, а то й безслідно — у цій статті.

Енергія: що це таке

Якщо ми погуглим визначення слова «Енергія», то швидше за все знайдемо щось про форми взаємодії матерії. Це правильно, але абсолютно незрозуміло.

Тому давайте домовимося тут і зараз, що енергія — це запас, який піде на виконання роботи.

Енергія буває різних видів: механічна, електрична, внутрішня, гравітаційна тощо. Вимірюється вона в Джоулях (Дж) і найчастіше позначається буквою E.

Механічна енергія

Механічна енергія – це енергія, пов’язана з рухом об’єкта або його становищем , здатність виконувати механічну роботу.

Вона являє собою сукупність кінетичної та потенціальної енергії. Кінетична енергія – це енергія дії. Потенціальна – очікування дії.

Уявіть, що ви взяли до рук канцелярську гумку, розтягнули її та відпустили. З розтягнутого положення гумка просто «полетить», як ви їй дозволите це зробити. У цьому процесі в момент натягу гумка має потенціальну енергію, а в момент польоту — кінетичну.

Ще один приклад: лижник скочується з гори. На самому початку – на вершині – у нього максимальна потенціальна енергія, тому що він у режимі очікування дії (очікуваний режим ?), а внизу гори він вже явно рухається, а не чекає, коли з ним це станеться – виходить, внизу гори кінетична енергія .

Кінетична енергія

Ще раз: кінетична енергія — це енергія дії. Величина, яка найбільше характеризує дію — це швидкість. Відповідно, у формулі кінетичної енергії точно має бути швидкість.

E_к = \frac{mv^2}{2}

Чим швидше рухається тіло, тим більша його кінетична енергія. І навпаки — що повільніше, то менша кінетична енергія.

Завдання раз

Визначити кінетичну енергію собачки масою 10 кг, якщо вона бігла за м’ячем з постійною швидкістю 2 м/с.

Рішення:

Формула кінетичної енергії

E_к = \frac{mv^2}{2}

Підставляємо значення

E_к = \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 20 Дж

Відповідь: кінетична енергія песи дорівнює 20 Дж.

Завдання два

Знайти швидкість гнома, що біжить по узліссі, якщо його маса дорівнює 20 кг, а його кінетична енергія — 40 Дж

Рішення:

Формула кінетичної енергії

E_к = \frac{mv^2}{2}

Виразимо швидкість:

v^2 = \frac{2E_к}{m}

v = \sqrt{\frac{2E_к}{m}}

Підставляємо значення

v = \sqrt{\frac{2 \cdot 40}{20}} = \sqrt{4} = 2

Відповідь: гном біг зі швидкістю 2 м/с.

Потенціальна енергія

На відміну від кінетичної енергії, потенціальна найчастіше тим менша, чим швидкість більша. Потенціальна енергія — це енергія очікування дії.

Наприклад, потенціальна енергія у стиснутої пружини буде дуже великою, тому що така конструкція може призвести до дії, а отже, до збільшення кінетичної енергії. Те саме відбувається, якщо тіло підняти на висоту. Чим вище ми піднімаємо тіло, тим більша його потенціальна енергія.

E_п = \frac{kx^2}{2}

Завдання раз

Знайти потенціальну енергію раку масою 0,1 кг, який свистить на горі заввишки 2500 метрів. Прискорення вільного падіння вважати рівним 9,8 м/с².

Рішення:

Формула потенціальної енергії Е _п = mgh

Підставляємо значення

E_п = 0,1 · 9,8 · 2500 = 2450 Дж

Відповідь: потенціальна енергія раку, що свистить на горі, дорівнює 2450 Дж.

Завдання два

Знайти висоту гірки, з якої збирається скотитися лижник масою 65 кг, якщо його потенціальна енергія дорівнює 637 кДж. Прискорення вільного падіння вважати рівним 9,8 м/с².

Рішення:

Формула потенціальної енергії Е _п = mgh

Виразимо висоту:

h = \frac{E_п}{mg}

Переведемо 637 кДж у Джоулі.

637 кДж = 637000 Дж

Підставляємо значення

h = \frac {637000}{65 \cdot 9,8} = 1000 м

Відповідь: висота гори дорівнює 1000 метрів.

Завдання три

Дві кулі різної маси підняті на різну висоту щодо поверхні столу (див. малюнок). Порівняйте значення потенціальної енергії куль E1 і E2. Вважати, що потенціальна енергія відраховується від рівня кришки столу.

Рішення:

Потенціальна енергія обчислюється за формулою: E = mgh

За умовою завдання

m1 = m

h₁ = 2h

m₂ = 2m

h₂ = h

Таким чином, отримаємо, що

E₁ = mg2h = 2mgh,

а E₂ = 2mgh,

тобто E₁ = E₂.

Відповідь: E₁ = E₂.

Закон збереження енергії

У фізиці і справді нічого не зникає безвісти. Щоб це висловити, використовують закони збереження. У випадку з енергією – Закон збереження енергії.

Повна механічна енергія — це сума кінетичної та потенціальної енергій. Математично цей закон описується так:

Завдання раз

М’яч кидають вертикально вгору із Землі. Опір повітря дуже малий. Як зміниться висота підйому м’яча при збільшенні початкової швидкості м’яча в 2 рази? У початковий момент часу висота дорівнює нулю, значить Е_п = 0. У цей же час Е_до максимальна.

В кінцевий момент часу все навпаки – кінетична енергія дорівнює нулю, тому що м’яч вже не може летіти вище, а ось потенціальна максимальна, оскільки м’яч докинули до максимальної висоти.

Це можна описати співвідношенням:

Е_п1 + Е_к1 = Е_п2 + Е _к2

0 + Е_к1 = Е_п2 + 0

Е_к1 = Е_п2

\frac{mv^2}{2} = mgh

Поділимо на масу ліву та праву частину

\frac{mv^2}{2} = mgh \vert : m

\frac{v^2}{2} = gh

Зі співвідношення видно, що висота прямо пропорційна квадрату початкової швидкості, значить при збільшенні початкової швидкості м’яча в два рази, висота повинна збільшитися в 4 рази.

Відповідь: висота збільшиться в 4 рази

Завдання два

Тіло масою m, кинуте з поверхні землі вертикально вгору з початковою швидкістю v₀ , Піднялося на максимальну висоту h₀. Опір повітря дуже мало. Чому дорівнюватиме повна механічна енергія тіла на деякій проміжній висоті h?

Рішення

За законом збереження енергії, повна механічна енергія ізольованої системи залишається постійною. У максимальній точці підйому швидкість тіла дорівнює нулю, а значить, воно матиме виключно потенціальну енергію Е_мех = Е_п = mgh₀.

Таким чином, на деякій проміжній висоті h, тіло матиме і кінетичну і потенціальну енергію, але їх сума матиме значення Е_мех = mgh₀

Відповідь: Е_мех = mgh₀.

Завдання три

М’яч масою 100 г кинули вертикально нагору з поверхні землі з початковою швидкістю 6 м/с. На якій висоті щодо землі м’яч мав швидкість 2 м/с? Опором повітря знехтувати.

Рішення:

Переведемо масу з грамів у кілограми:

m = 100 г = 0,1 кг

У поверхні землі повна механічна енергія м’яча дорівнює його кінетичній енергії:

E = E_к0 = \frac{mv^2_0}{2} = \frac{0,1 \cdot 6^2}{2} = 1,8 Дж

На висоті h потенціальна енергія м’яча є різниця повної механічної енергії та кінетичної енергії:

mgh = E - \frac{mv^2}{2} = 1,8 - \frac{0,1 \cdot 6^2}{2} = 1,6 Дж

h = \frac{E}{mg} = \frac{1,6}{0,1 \cdot 10} = 1,6 м

Відповідь: м’яч мав швидкість 2 м/с на висоті 1,6 м

Перехід механічної енергії у внутрішню

Внутрішня енергія — це сума кінетичної енергії хаотичного теплового руху молекул та потенціальної енергії їхньої взаємодії. Тобто, та енергія, яка запасена у тіла за рахунок його власних параметрів.

Часто механічна енергія перетворюється на внутрішню. Відбувається цей процес шляхом механічної роботи над тілом. Наприклад, якщо згинати і розгинати дріт — вона нагріватиметься.

Або якщо кинути м’яч у стіну, частина енергії при ударі перейде у внутрішню.

Завдання

Яка частина початкової кінетичної енергії м’яча при ударі об стіну перейде у внутрішню, якщо повна механічна енергія спочатку вдвічі більша, ніж наприкінці?

Рішення:

На самому початку м’яч має тільки кінетичну енергію, тобто Е_мех = Е_к .

Наприкінці механічна енергія дорівнює половині початкової, тобто Е_мех/2 = Е_к/2

Частина енергії йде у внутрішню, значить Е_повн = Е_мех/2 + Е_внутр

Е_мех = Е_мех /2 + Е_внутр

Е_мех/2 = Е_внутр

Е_внутр = Е_к/2

Відповідь: у внутрішню перейде половина початкової кінетичної енергії

Закон збереження енергії в теплових процесах

Щоб закон збереження енергії для теплових процесів було сформульовано, було зроблено два важливі кроки. Спочатку французький математик та фізик Жан Батіст Фур’є встановив один із основних законів теплопровідності. А потім Саді Карно визначив, що теплову енергію можна перетворити на механічну.

Ось що сформулював Фур’є:

При переході теплоти від гарячішого тіла до холоднішого температури тіл поступово вирівнюються і стають єдиними для обох тіл – настає стан термодинамічної рівноваги.

Таким чином, першим важливим відкриттям було відкриття того факту, що всі теплові процеси, що протікають без участі зовнішніх сил, незворотні.

Далі Карно встановив, що теплову енергію, яку має нагріте тіло, безпосередньо неможливо перетворити на механічну енергію для роботи. Це можна зробити тільки якщо частину теплової енергії тіла з більшою температурою передати іншому тілу з меншою температурою і, отже, нагріти його до вищої температури.

Закон збереження енергії в теплових процесах  
При теплообміні двох або декількох тіл абсолютна кількість теплоти, яка віддана більш нагрітим тілом, дорівнює кількості теплоти, яка отримана менш нагрітим тілом.

Математично його можна описати так:

Ця рівність називається рівнянням теплового балансу. У реальних дослідах зазвичай виходить, що кількість теплоти, що віддається більш нагрітим тілом, більше кількості теплоти, отриманої менш нагрітим тілом:

Це пояснюється тим, що деяка кількість теплоти при теплообміні передається навколишньому повітрю, а ще частина – посудини, в якій відбувається теплообмін. Щоб розібратися в завданнях, читайте нашу статтю про агрегатні стани речовини.

Завдання разів

Скільки грамів спирту потрібно спалити у спиртівці, щоб нагріти на ній воду масою 580 г на 80 °С, якщо врахувати, що на нагрівання пішло 20% витраченої енергії.

Питома теплота згоряння спирту 2,9 · 10₇Дж/кг, питома теплоємність води 4200 Дж/(кг · °С).

Рішення:

При нагріванні тіло отримує кількість теплоти

Q = cmΔt ,

де c — питома теплоємність речовини

При згорянні тіла виділяється енергія

Q_згор = q · m_згор,

де q — питома теплота згоряння палива

За умовою завдання нам відомо, що на нагрівання води пішло 20% енергії, отриманої при горінні спирту.

Тобто:

Q = 0,2 Q_{сгор}

cm \Delta t = 0,2 qm_{сгор}

m_{сгор} = \frac{cm \Delta t}{0,2q}

m_{сгор} = \frac{4200 \cdot 0,58 \cdot 80}{0,2 \cdot 2,9 \cdot 10^7} = 33,6

Відповідь: маса згорілого палива дорівнює 33,6 г.

Завдання два

Яка мінімальна кількість теплоти необхідна для перетворення у воду 500 г льоду, взятого за температури -10 °С? Втратами енергії на нагрівання навколишнього повітря знехтувати. Питома теплоємність льоду дорівнює 2100 Дж/кг · ℃, питома теплота плавлення льоду дорівнює 3,3 · 10⁵ Дж/кг.

Рішення:

Для нагрівання льоду до температури плавлення необхідно:

Q_нагрів = cmΔt

Q_нагрів = 2100 · 0,5 · (10 − 0) = 10 500 Дж

Для перетворення льоду у воду:

Q_пл = λm

Q_пл = 3,3 · 10⁵ · 0,5 = 165 000 Дж

Таким чином, для перетворення необхідно витратити:

Q = Q_нагрів + Q_пл = 10 500 + 165 000 = 175 500 Дж = 175,5 кДж

Відповідь: щоб перетворити 0,5 кг льоду у воду за заданих умов необхідно 175,5 кДж тепла.