Чим відрізняється яблуко, що впало в Алмати, від такого ж яблука в Осло? Тим, що у цих містах різне прискорення вільного падіння! Що це таке і як його вирахувати – відповідаємо у статті.
Сила тяжіння
У 1682 році Ісаак Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння. Він звучить так: всі тіла притягуються один до одного з силою, яка прямо пропорційна добутку мас тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.
Формула сили тяжіння відповідно до цього закону виглядає так:
| Закон всесвітнього тяжіння
F = G \frac{Mm}{R^2}F – сила тяжіння [Н] M – маса першого тіла (часто планети) [кг] m — маса другого тіла [кг] R — відстань між тілами [м] G – гравітаційна постійна G = 6,67 · 10−11м3 · кг−1 · с−2 |
Коли ми встаємо на терези, стрілка відхиляється. Це відбувається тому, що маса Землі дуже велика, і сила тяжіння буквально притискає нас до поверхні. На легшому Місяці людина важить менше у шість разів.
Закон всесвітнього тяжіння використовують, щоб обчислити сили взаємодії між тілами будь-якої форми, якщо розміри тіл значно менші за відстань між ними.
Якщо ми візьмемо дві кулі, то для них можна використати цей закон незалежно від відстані між ними. За відстань R між тілами в цьому випадку приймається відстань між центрами куль.
Прискорення вільного падіння
Щоб математично правильно і красиво дійти прискорення вільного падіння, нам необхідно спочатку ввести поняття сили тяжіння.
Сила тяжіння – сила, з якою Земля притягує всі тіла.
| Сила тяжіння F = mg F– сила тяжіння [Н] m – маса тіла [кг] g – прискорення вільного падіння [м/с 2] На планеті Земля g = 9,8 м/с2, але докладніше про це трохи пізніше. ? |
На перший погляд, сила тяжіння дуже схожа на вагу тіла. Справді, у стані спокою лежить на поверхні Землі формули сили тяжкості і ваги ідентичні. Вага тіла в стані спокою чисельно дорівнює масі тіла, помноженої на прискорення вільного падіння, різниця полягає лише в точці докладання сили.
Сила тяжіння — це сила, з якою Земля діє на тіло, а вага — сила, з якою тіло діє на опору або підвіс. Це означає, що у них будуть різні точки докладання: у сили тяжіння до центру мас тіла, а у ваги — до опори.
Також важливо розуміти, що сила тяжіння залежить виключно від маси та планети, на якій тіло знаходиться. А вага залежить ще й від прискорення, з яким рухається тіло чи опора.
Наприклад, у ліфті вага залежить від того, куди та з яким прискоренням рухаються його пасажири. А силі тяжіння все одно, куди і що рухається — вона не залежить від зовнішніх факторів.
На другий погляд, сила тяжіння дуже схожа на силу тяжіння. В обох випадках ми маємо справу з тяжінням — отже, можемо сказати, що це одне й те саме. Практично.
Ми можемо сказати, що це те саме, якщо йдеться про Землю і якийсь предмет, який до цієї планети притягується. Тоді ми можемо навіть прирівняти ці сили та висловити формулу для прискорення вільного падіння:
F = mg
F = G \frac{Mm}{R^2}Прирівнюємо праві частини:
mg = G \frac{Mm}{R^2}Ділімо на масу тіла ліву та праву частини:
g = G \frac{M}{R^2}Це буде формула прискорення вільного падіння. Прискорення вільного падіння для кожної планети є унікальним.
Формула прискорення вільного падінняg = G \frac{M}{R^2} g — прискорення вільного падіння [м/с2] M — маса планети [кг] R — відстань між тілами [м] G — гравітаційна постійна G = 6,67 · 10−11м3 · кг−1 · с−2 |
Прискорення вільного падіння характеризує те, як швидко збільшується швидкість тіла при вільному падінні.
Вільне падіння — це прискорений рух тіла в безповітряному просторі, при якому на тіло діє лише сила тяжіння.
Прискорення вільного падіння на різних планетах
Вище ми вже вивели формулу прискорення вільного падіння. Давайте спробуємо розрахувати прискорення вільного падіння на планеті Земля.
Для цього нам знадобляться наступні величини:
- Гравітаційна стала
G = 6,67 · 10− 11м3· кг−1 · с−2 - Маса Землі
M = 5,97 × 1024 кг - Радіус Землі
R = 6371 км
Підставимо значення у формулу:
Є один нюанс: у значенні прискорення вільного падіння для Землі дуже багато знаків після коми. У школі зазвичай дають те значення, що ми вказали вище: g = 9,81 м/с2. В іспитах ЗНО у довідкових даних дають g = 10 м/с2.
І кому ж вірити?
Все просто: для кого вирішується завдання, той і головний. В іспитах беремо g = 10 м/с2, у школі при вирішенні завдань (якщо за умови завдання не написано щось інше) беремо g = 9,8 м/с2.
Нижче представлена таблиця прискорень вільного падіння та інших характеристик для планет Сонячної системи, карликових планет та Сонця.
|
Небесне тіло |
Прискорення вільного падіння , м/с2 |
Діаметр, км |
Відстань до Сонця, мільйони км |
Маса, кг |
Співвідношення з масою Землі |
|---|---|---|---|---|---|
Меркурій | 3,7 | 4 878 | 58 | 3,3×1023 | 0,055 |
| Венера | 8,87 | 12 103 | 108 | 4,9×1024 | 0 ,82 |
Земля | 9,8 | 12756,28 |
150 |
6,0×1024 |
1 |
|
Марс |
3,7 |
6 794 |
228 |
6,4×1023 |
0, 11 |
|
Юпітер |
24,8 | 142 984 |
778 |
1,9×1027 |
317,8 |
|
Сатурн |
10,4 |
120 536 |
1 427 |
5,7×1026 |
95,0 |
|
Уран |
8,87 |
51 118 |
2 871 |
8,7×1025 |
14,4 |
| Нептун |
10,15 |
49 532 |
4 498 |
1,02×1026 |
17,1 |
Плутон |
0,66 |
2 390 |
5 906 |
1,3×1022 | 0,0022 |
|
Місяць |
1,62 |
3 473,8 | 0,3844 (до Землі) |
7,35× 1022 |
0,0123 |
|
Сонце | 274,0 |
1 391 000 |
0 | 2,0×1030 |
332 900 |
Прискорення вільного падіння на Землі в різних місцях
Сюрприз-сюрприз! У різних містах прискорення вільного падіння також різняться. Це відбувається через те, що Земля має форму геоїду– плескатої кулі, і в різних точках у неї відрізняється радіус. Якщо підставити ці радіуси у формулу прискорення вільного падіння, вийдуть різні значення. Нижче наведено деякі з них.
Прискорення вільного падіння для деяких міст
| Місто | Довгота |
Широта | Висота над рівнем моря, м | Прискорення вільного падіння, м / с2 |
| Алмати | 76,85 сх. д. | 43,22 пн. ш. |
786 |
9,78125 |
| Берлін | 13,40 сх. д. | 52,50 пн. ш. |
40 |
9,81280 |
|
Будапешт | 19,06 сх. д. | 47,48 пн. ш. |
108 |
9,80852 |
|
Вашингтон | 77,01 зх. д. | 38,89 пн. ш. |
14 |
9,80188 |
| Відень | 16,36 сх. д. | 48,21 пн. ш. |
183 |
9,80860 |
|
Владивосток | 131,53 сх. д. | 43,06 пн. ш. |
50 |
9,80424 |
| Гринвіч | 0,0 сх. д. | 51,48 пн. ш. |
48 |
9,81188 |
| Каїр | 31,28 сх. д. | 30,07 пн. ш. |
30 |
9,79317 |
| Київ | 30,30 сх. д. | 50,27 пн. ш. |
179 |
9,81054 |
|
Мадрид | 3,69 сх. д. | 40,41 пн. ш. |
667 |
9,79981 |
| Мінск | 27,55 сх. д. | 53,92 пн. ш. |
220 |
9,81347 |
|
Москва | 37,61 сх. д. | 55,75 пн. ш. |
151 |
9,8154 |
|
Нью-Йорк | 73,96 зх. д. | 40,81 пн. ш. |
38 |
9,80247 |
| Одеса | 30,73 сх. д. | 46,47 пн. ш. |
54 |
9,80735 |
|
Осло | 10,72 сх. д. | 59,91 пн. ш. |
28 |
9,81927 |
|
Париж | 2,34 сх. д. | 48,84 пн. ш. |
61 |
9,80943 |
|
Прага | 14,39 сх. д. | 50,09 пн. ш. |
297 |
9,81014 |
|
Рим | 12,99 сх. д. | 41,54 пн. ш. |
37 |
9,80312 |
|
Стокгольм | 18,06 сх. д. | 59,34 пн. ш. |
45 |
9,81843 |
| Токіо | 139,80 сх. д. | 35,71 пн. ш. |
18 |
9,79801 |
Наприклад, прискорення вільного падіння в Алмати менше, ніж в Осло. Значить, якщо два яблука впадуть з однакової висоти в цих містах, то до кінця падіння яблуко в Осло набере більшу швидкість, ніж яблуко в Алмати.
Але хіба це не залежить ще й від маси предмета?
Ні, не залежить. Насправді всі тіла падають однаково незалежно від маси. Якщо ми візьмемо перо і м’яч, то перо, звичайно, буде падати повільніше, але не через прискорення вільного падіння. Просто через невелику масу пера опір повітря надає на нього більший вплив, ніж на м’яч. А от якби ми помістили перо і м’яч у вакуум, вони б впали одночасно.
